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不等式选讲 设x,y,z为正数,证明:2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y...

不等式选讲
设x,y,z为正数,证明:2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).
先将2(x3+y3+z3)分解成(x3+y3)+(z3+x3)+(y3+z3),再对每一组利用基本不等式进行放缩即得. 证明:因为x2+y2≥2xy≥0(2分) 所以x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)≥xy(x+y)(4分) 同理y3+z3≥yz(y+z),z3+x3≥zx(z+x)(8分) 三式相加即可得2(x3+y3+z3)≥xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) 又因为xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y) 所以2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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