Question

已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：．
（1）求a₁，a₂；
（2）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N．

Answer

本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤．要做好命题n=k到n=k+1的转化，要注意转化的要求是在变化过程中结构不变．
【解析】
（1）．
（2）用数学归纳法证明：
1°当n=0时，，∴a＜a1＜2，命题正确．
2°假设n=k时，有ak-1＜ak＜2．
则n=k+1时，=．
而ak-1-ak＜0，4-ak-1-ak＞0，∴ak-ak-1＜0．
又，∴n=k+1时命题正确．
由1°、2°知，对一切n∈N，有an＜an+1＜2．