Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c（a，b，c∈R）
（1）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围
（2）若g（x）=x³+（b-a+1）x+a+c 写出使的g（x）＞f（x）的x取值范围．

Answer

（1）根据所给的函数在两个点取得极值，写出函数的导函数，则导函数在这两个点的值等于0，得到关于a，b的方程组，解方程组即可求出a，b；再根据单调性求出函数的最大值，让其小于代数式即可．
（2）先把不等式转化为ax2+（1-a）x+a＞0；再通过对a的取值的讨论即可得到g（x）＞f（x）的x取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=3x2-2ax+b，
∵函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，
∴-1，3是方程3x2-2ax+b=0的两根，
∴⇒
∴f（x）=x3-3x2-9x+c，f′（x）=3x2-6x-9，
当x变化时，有下表

x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
f’（x） + - +
f（x） ↗ 最大值
c+5 ↘ 最小值
c-27 ↗

而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，
∴x∈[2，6]时f（x）的最大值为c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
⇒c＞54，c＜-18．
∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）
（2）不等式可化为ax2+（1-a）x+a＞0．
当a=0时，x＞0
当a≠0时，对应方程的△=1-3a2-2a=-（3a-1）（a+1）
所以：当0＜a＜时，x＞或x＜
当a＞时，x∈R，
当a=时，x≠-1
当-1＜a＜0时，＜x＜
当a≤-1时，x∈∅．