Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，∀n≥2，3S_n-4、2a_n、2-S_n-1总成等差数列．
（1）求S_n；
（2）对任意k∈N^*，将数列{a_n}的项落入区间（3^k，3^2k）内的个数记为b_k，求b_k．

Answer

（1）由已知可得4an=（3Sn-4）+（2-Sn-1），结合an=Sn-Sn-1（n≥2），可Sn与Sn-1的递推关系，构造等比数列{Sn-1}可求
（2）由（1）及an=Sn-Sn-1（n≥2），可求an，然后由，代入通项可得，k+2-log32＜n＜2k+2-log32，从而可求n的取值，进而可求bk，
【解析】
（1）∀n≥2，3Sn-4、2an、2-Sn-1总成等差数列，
所以，2×2an=（3Sn-4）+（2-Sn-1）…（1分）
因为an=Sn-Sn-1（n≥2），所以4（Sn-Sn-1）=（3Sn-4）+（2-Sn-1），
即Sn=3Sn-1-2…（3分）
又因为a1=2，Sn-1-1≠0，，S1-1=1，
所以数列{Sn-1}是首项等于1，公比q=3的等比数列…（6分）
，即…（7分）
（2）由（1）得∀n≥2，…（8分）
n=1时，2×3n-2=2×1=2=a1，所以，任意n∈N*，…（9分）
任意k∈N*，由，即3k＜2×3n-2＜32k…（11分），
（k＜log32+（n-2）＜2k，k+2-log32＜n＜2k+2-log32…（12分）
因为0＜log32＜1，所以“若学生直接列举，省略括号内这一段解释亦可”）
n可取k+2、k+3、…、2k+1…（13分），
所以bk=k…（14分）