Question

将函数在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式．

Answer

（1）由倍角公式可得f（x）=，求导后令导函数值等0，可得函数的极值点，进而根据三角函数的周期性，可得到数列{an}的首项和公差，进而得到数列{an}的
通项公式．
（2）由，数列{bn}的前n项和为Tn，利用错位相减法可得Tn的表达式．
【解析】
（1）由于=sinx+2013，令f′（x）=0得，x=kπ+（k∈Z）．
故函数f（x）极值点为x=kπ+（k∈Z）．
又∵函数在区间（0，+∞）内的全部极值点构成数列{an}，
故数列{an}是以为首项，π为公差的等差数列，∴an=+（n-1）•π=π（n∈N*）．…．（6分）
（2）∵bn=2nan=（2n-1）•2n，
∴Tn=[1•2+3•22+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n]，
2Tn=[1•22+3•23+…+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1]，
两式相减，得-Tn=[1•2+2•22+2•23+…+2•2n-（2n-1）•2n+1]，
∴Tn=π[（2n-3）•2n+3]．…（12分）