Question

已知椭圆的上下焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆方程；
（2）已知直线l的方向向量为（1，），若直线l与椭圆交于P、Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
（3）过点T（1，0）作直线l与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若．证明：λ+μ为定值．

Answer

（1）利用正方形的性质、椭圆的性质及参数a、b、c的关系即可得出；
（2）把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式即可得出；
（3）把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、向量相等即可证明．
【解析】
（1）由题意可得：
a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，
∴椭圆方程为．
（2）∵直线l的方向向量为（1，），
∴可设直线l的方程为，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
代入椭圆方程并化简得，
由△=8m2-16（m2-4）＞0，可得m2＜8．（*）
∴，．
∴|PQ|==．
又点O到PQ的距离为，
∴，
当且仅当2m2=16-2m2，即m=±2时取等号，且满足（*）式．
所以△OPQ面积的最大值为．
（3）依题意知，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）
设M（x3，y3），N（x4，y4），R（0，y5）
则M、N满足消去y化为（2+k2）x2-2k2x+k2-4=0，
易知△＞0，∴，．
∵，∴（x3，y3-y5）=λ（1-x3，y3），
∵x3≠1，∴，
同理．
∴λ+μ═==-4．
∴λ+μ为定值-4．