Question

定义在R上的函数满足以下三个条件：
①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；
②对任意的x₁，x₂∈[0，2]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）；
③函数f（x+2）的图象关于y轴对称，
则下列结论正确的是（ ）
A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）
D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）

Answer

错误：③函数f（x+2）的图象关于Y轴对称，应该是：③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．

由条件可得，函数f（x）是周期等于4的周期函数，且函数在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数．
根据f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（1），f（6.5）=f（1.5），再利用函数在[0，2]上是增函数可得结论．
【解析】
由①可得函数的图象关于直线x=4对称；，由②可得函数在[0，2]上是增函数；
由③可得函数f（x+2）为偶函数，故f（2-x）=f（2+x），故函数f（x）的图象关于直线x=2对称．
综上可得，函数f（x）是周期等于4的周期函数，且函数在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数．
再由 f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1），
f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2-0.5）=f（1.5），
故有 f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），
故选A．