Question

已知函数f（x）=ax²+a（x＞0）的图象恒在直线y=-2x的下方，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）
B．（-1，0）∪（0，+∞）
C．（-∞，0）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer

把恒成立问题等价转化，利用导数即可得出a的取值范围．
【解析】
由题意可得：当x＞0时，-2x-（ax2+a）＞0恒成立．
即x∈（0，+∞）时，恒成立⇔，x∈（0，+∞）．
令，x∈（0，+∞），则，
令g′（x）=0，则x=1．
当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴当x=1时，函数g（x）取得极小值g（1）=-1，也是最小值．
∴a＜-1．
因此a的取值范围是（-∞，-1）．
故选A．