Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n＜a_n+1，设b_n=，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）若数列{a_n}是公比为q且q≥3的等比数列，则S_n＜1．

Answer

（Ⅰ）利用作差法证明该不等式，作差后，把bn=代入，通分后进行因式分解，然后根据an＜an+1判断差式的符号；
（Ⅱ）写出等比数列{an}的通项公式，代入bn=后整理得到bn=，利用等比数列求和得到Sn=．由q≥3利用放缩法可证得Sn＜1．
证明：（Ⅰ）由题意可知an＞0
∵
=
=
=．
又an＜an+1，∴，，
，
则．
∴；
（Ⅱ）数列{an}是首项a1=1，公比为q且q≥3的等比数列，
∴．
∴．
Sn=b1+b2+…+bn
=
=
=．
∵q≥3，∴．
．
∴．