Question

在平面直角坐标系中，已知点，向量，点B为直线上的动点，点C满足，点M满足．
（1）试求动点M的轨迹E的方程；
（2）设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．

Answer

（1）设M（x，y），B（-，m），可得C（0，），进而得到向量、和的坐标，结合题中向量等式建立x、y与m的等式，再消去m即可得到动点M的轨迹E的方程；
（2）设P（x，y），R（0，b），N（0，c），可得PR直线的方程为（y-b）x-xy+xb=0．由直线PR、PN与题中的圆相切，运用距离公式算出、，可得b、c是方程+yx-x=0的两个根，运用根与系数的关系算出|b-c|关于x的式子，再代入计算△PRN的面积可得面积S关于x的表达式，最后利用基本不等式即可求出△PRN的面积的最小值．
【解析】
（1）设，则
∵点C满足，∴点C是线段AB的中点，可得C（0，）
由此可得：，，
∵，
∴可得，化简整理得，
消去参数m得y2=2x，所以动点M的轨迹E的方程为y2=2x；…（4分）
（2）设P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
∴PR直线的方程为，整理得lPR：（y-b）x-xy+xb=0，
∵圆（x-1）2+y2=1内切于△PRN，可得PR与圆相切，∴，
注意到x＞2，化简得：，
同理可得：，
因此，b、c是方程的两个不相等的实数根，…（8分）
根据根与系数的关系，化简整理可得，
由此可得△PRN的面积为，
∴当x-2=时，即当x=4时，△PRN的面积的最小值为8．…（12分）