Question

已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）．
（1）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f₁（x），f₂（x），在公共定义域D上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x），
f₂（x）的“活动函数”．
已知函数．
若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活动函数”，
求a的取值范围．

Answer

（1）由题意得 ，＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．
（2）由题意得：令 ＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）-f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，分类讨论当 或 时两种情况求函数的最大值，可得到a的范围．又因为h′（x）=-x+2a-=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，可得到a的另一个范围，综合可得a的范围．
【解析】
（1）当 时，，；
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴，．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）
令 ＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f1（x）-f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，
∵
1）若 ，令p′（x）=0，得极值点x1=1，，
当x2＞x1=1，即 时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
2）若 ，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足 ，
所以 ≤a≤．
又因为h′（x）=-x+2a-=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤
综合可知a的范围是[，]．