Question

如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F中PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）证明：PE⊥AF；
（2）当CE=时，求二面角P-DE-A的大小．

Answer

（1）由题意可得此题是证明线面垂直的问题，即证明直线AF垂直于平面PBE，而当点E在BC上无论怎样运动时直线PE都在此平面内，因此只需证明已知直线垂直于平面内的两条相交直线即可．
（2）过A作AG⊥DG于G，连PG，根据二面角的定义可得∠PAG是二面角P-DE-A的平面角，由PD与平面ABCD所成角是30°，CE=，PA=AB=1，解Rt△PAG可得二面角P-DE-A的大小．
证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
∴EB⊥PA，
又∵EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又∵AF⊂平面PAB，
∴AF⊥BE，
又∵PA=AB=1，点F是PB的中点，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE⊂平面PBE，
∴AF⊥PE．
（2）过A作AG⊥DG于G，连PG，
∵DE⊥PA，
∴DE⊥平面PAG，则∠PAG是二面角P-DE-A的平面角，
∵PD与平面ABCD所成角是30°，
∴∠PDA=30°，
又∵PA=AB=1．ABCD为矩形
∴AD=
又∵CE=，
∴DE=
S△ADE=DE•AG=××1==×AG
∴AG=1，PG=
在Rt△PAG中，cos∠PAG===
∴二面角P-DE-A的大小为45°