Question

如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F中PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）证明：PE⊥AF；
（2）当点E是BC的中点时，求多面体PADEF的体积．

Answer

（1）由题意可得此题是证明线面垂直的问题，即证明直线AF垂直于平面PBE，而当点E在BC上无论怎样运动时直线PE都在此平面内，因此只需证明已知直线垂直于平面内的两条相交直线即可．
（2）多面体PADEF的体积V=VP-ADE+VE-PAF，分别求出两个棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式，可求出答案．
证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
∴EB⊥PA，
又∵EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又∵AF⊂平面PAB，
∴AF⊥BE，
又∵PA=AB=1，点F是PB的中点，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE⊂平面PBE，
∴AF⊥PE．
（2）∵PD与平面ABCD所成角是30°，
∴AD=
又∵ABCD是矩形，PA=AB=1，ABCD是矩形，PA=AB=1，
∵棱锥P-ADE的高PA=1，底面ADE面积S1==
∴VP-ADE=••1=
棱锥E-PAF的高BC=，底面PAF的面积S2==
∴VE-PAF=••=
∴多面体PADEF的体积V=VP-ADE+VE-PAF=+=