Question

在如图所示的几何体中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，，且AA₁=AB，D₁E⊥平面D₁AC，AA₁⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求二面角D₁-AC-E的大小；
（Ⅱ）在D₁E上是否存在一点P，使得A₁P∥平面EAC，若存在，求的值，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）设AC交BD于O，建立坐标系，求得E的坐标，求得平面EAC、平面FAC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角D1-AC-E的大小；
（Ⅱ）利用A1P∥平面EAC，可得⊥平面EAC的法向量，从而可得结论．
【解析】
（Ⅰ）设AC交BD于O，建立如图所示的坐标系，
设AB=2，则，，D1（0，1，2）
设E（0，-1，t），则，，
∵D1E⊥平面D1AC，∴，∴-2-2（2-t）=0，∴t=3，∴E（0，-1，3），
∴
设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则，∴
令z=1，可得=（0，3，1），
∵平面FAC的法向量为
∴cos＜＞==
∴二面角D1-AC-E的平面角为45°；
（Ⅱ）设=λ=λ（），则=（0，-，）
∴=+=（-，1-，）
∵A1P∥平面EAC，∴⊥
∴+3×+1×=0
∴λ=
∴存在一点P，使得A1P∥平面EAC，此时．