Question

已知函数f（x）=ax²-（2+5a）x+5lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=3和x=5处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由，x＞0和曲线y=f（x）在x=3和x=5处的切线互相平行，知f′（3）=f′（5），由此能求出a．
（Ⅱ）由=，x＞0，根据a的符号进行分类讨论，能够求出f（x）的单调递区间．
（Ⅲ），对任意，均存在，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，]上，有f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax2-（2+5a）x+5lnx，
∴，x＞0．
∵曲线y=f（x）在x=3和x=5处的切线互相平行，
∴f′（3）=f′（5），即6a-（2+5a）+=10a-（2+5a）+1，
解得a=．
（Ⅱ）∵=，x＞0，
①当a≤0时，x＞0，ax-1＜0，
在区间（0，）上，f′（x）＞0；
在区间（，+∞）上，f′（x）＜0．
故f（x）的增区间是（0，），减区间是（，+∞）．
②当0＜a＜时，．在区间（0，）和（，+∞）上，f′（x）＞0；
在区间（，）上，f′（x）＜0．
故f（x）的增区间是（0，），（，+∞），减区间是（，）．
③当a=时，，
故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
④当a＞时，0＜，
在区间（0，）和（）上，f′（x）＞0；
在（，）上，f′（x）＜0，
故f（x）的增区间是（0，），（），减区间是（）．
（Ⅲ）∵，对任意，
均存在，使得f（x1）＜g（x2），
∴在（0，]上，有f（x）max＜g（x）max．
在（0，]的最大值g（x）max=g（）=0．
由（Ⅱ）知：①当a≤时，f（x）在（0，]上单调递增，
故f（x）max=f（）==--5+5ln，
∴--5+5ln＜0，解得a＞．
故．
②当a＞时，f（x）在（0，]上单调递增，在（，]上单调递减，
故f（x）max=f（）=-5-+5ln=-，
由a，知，
∴，∴，
∴a＞．
f（x）max＜0．
综上所述a的取值范围是．