Question

数列{a_n}的前n项的和为S_n，对于任意的自然数a_n＞0，
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列，并求通项公式
（Ⅱ）设，求和T_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer

（Ⅰ）令n=1求出首项，然后根据4an=4Sn-4Sn-1进行化简得an-an-1=2，从而得到数列{an}是等差数列，直接求出通项公式即可；
（Ⅱ）确定数列通项，利用错位相减法，可求数列的和．
（Ⅰ）证明：∵4S1=4a1=（a1+1）2，∴a1=1．
当n≥2时，4an=4Sn-4Sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2，
∴2（an+an-1）=an2-an-12，
又{an}各项均为正数，∴an-an-1=2，
∴数列{an}是等差数列，
∴an=2n-1；
（Ⅱ）【解析】
=
∴Tn=b1+b2+…+bn=++…+---①
∴Tn=++…++---②
①-②Tn=+2（++…+）-=
∴Tn=1-．