Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N^*）．定义：使乘积a₁•a₂•…•a_k为正整数的k（k∈N^*）叫做“简易数”．则在[1，2012]内所有“简易数”的和为    ．

Answer

先利用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…ak化为log2（k+1）；然后根据a1•a2•a3…ak为整数，可得k=2n-1；最后由等比数列前n项和公式解决问题．
【解析】
an=logn（n+1）=，（n≥2，n∈N*），
∴a1•a2•a3…ak=1××…×=log2（k+1），
又∵a1•a2•a3…ak为整数，
∴k+1必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n-1．
∴k∈[1，2012]内所有的“简易数”的和：
M=（21-1）+（22-1）+（23-1）+（24-1）+…+（210-1）
=-10=2036，
故答案为：2036．