Question

设函数．
（1）对于任意实数x，f′（x）≥m在（1，5]恒成立（其中f′（x）表示f（x）的导函数），求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0在R上有且仅有一个实根，求a的取值范围．

Answer

（1）f′（x）≥m在（1，5]恒成立，等价于m≤3x2-9x+6在（1，5]恒成立，等价于m≤（3x2-9x+6）min，根据二次函数的性质即可求得其最小值；
（2）结合图象，方程f（x）=0在R上有且仅有一个实根，等价于函数f（x）只有一个零点，利用导数求出函数f（x）的极大值、极小值，只需令极大值小于0或极小值大于0即可；
【解析】
（1）f′（x）=3x2-9x+6，
f′（x）≥m在（1，5]恒成立，等价于m≤3x2-9x+6在（1，5]恒成立，
由f′（x）=3x2-9x+6=3在[1，5]上的最小值为-，
所以m≤-，即m的最大值为-．
（2）f′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2），
当x＜1或x＞2时f′（x）＞0，当1＜x＜2时f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
所以f（x）极大值=f（1）=-a，f（x）极小值=f（2）=2-a，
故当f（1）＜0或f（2）＞0时，方程f（x）=0在R上有且仅有一个实根，解得a＞或a＜2，
所以所求a的取值范围为：（-∞，2）∪（，+∞）．