Question

已知一非零向量列{a_n}满足：a₁=（1，1），a_n=（x_n，y_n）=
（1）证明：{|a_n|}是等比数列；
（2）设θ_n=＜a _n-1，a_n＞（n≥2），b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）设c_n=|a_n|log₂|a_n|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先利用向量模的计算公式得出的表达式，发现得出=利用等比数列定义判定是等比数列．
（2）根据向量夹角公式可以求出θn=，bn=2nθn-1=．分组后结合等差数列求和公式计算．
（3）由上可得出cn=•，可利用作商法研究数列{cn}的单调性，确定最小项存在与否．
【解析】
（l）证明：=
==（n≥2）又= 
∴数列是以为首项，公比为的等比数列．…（4分）
（2）∵===2
∴cosθn==，∴θn=，∴bn=2nθn-1=．
Sn=b1+b2+…+bn==…（8分）
（3）假设存在最小项，不防设为cn，∵==，
∴cn=|an|log2|an|=•，由cn≤cn+1 得≤
即（2-n）≤1-n，∴（-1）n≥2-1．
∴n≥=3+，∵n为正整数，∴n≥5．
由cn≤cn-1 得n≤4+，n≤5．，∴n=5
 故存在最小项，最小项为c5=…（12分）