Question

已知数列{a_n}（n∈N^*），其前n项和为S_n，给出下列四个命题：
①若{a_n}是等差数列，则三点、、共线；
②若{a_n}是等差数列，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，则S₁、S₂、…、S_n这n个数中必然存在一个最大者；
③若{a_n}是等比数列，则S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）也是等比数列；
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常数a₁q≠0），则{a_n}是等比数列．
其中正确命题的序号是    ．（将你认为的正确命题的序号都填上）

Answer

①利用第1和2点的坐标表示出确定直线的斜率，利用等差数列的前n项和的公式化简得到直线的斜率；然后再利用第3和2点的坐标表示出确定直线的斜率，利用等差数列的前n项和的公式化简得到直线的斜率，判断求得的斜率相等与否，即可得到三点共线与否；
②若{an}是等差数列，且a1=-11，a3+a7=-6，求出数列的公差，即可判断S1、S2、…、Sn这n个数中是否存在一个最大者；
③若{an}是等比数列，利用等比数列前n项和公式，求出Sm、S2m-Sm、S3m-S2m（m∈N*）即可判断是否是等比数列；
④若Sn+1=a1+qSn（其中常数a1q≠0），转化为数列的前n项和公式，即可判断{an}是不是等比数列．
【解析】
①因为==a1+d，同理=a1+d，=a1+d，
则=====，
所以三点共线．此选项正确；
②若{an}是等差数列，且a1=-11，a3+a7=-6，所以a1+2d+a1+6d=-6，解得d=2，所以数列是递增数列，则S1、S2、…、Sn这n个数中不存在一个最大者；②不正确；
③若{an}是等比数列，则Sm=；
S2m-Sm==；
S3m-S2m==；
因为，
所以Sm、S2m-Sm、S3m-S2m（m∈N*）也是等比数列，
当公比q=-1，且m为偶数时，该命题错误．
④若Sn+1=a1+qSn（其中常数a1q≠0），如果数列是等比数列，设公比为q，则Sn+an+1=a1+qSn∴Sn（1-q）=a1-an+1=a1（1-qn），显然数列{an}是等比数列．正确．
故答案为：①④．