Question

已知点P是双曲线的一个交点，F₁，F₂是该双曲线的两个焦点，∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．

Answer

根据双曲线基本量的平方关系，可得圆x2+y2=a2+b2的半径为c，经过F1和F2．由此可得Rt△PF1F2中，∠PF1F2=30°且∠PF2F1=60°，得到|PF1|=且|PF2|=c，再用双曲线的定义及离心率公式即可算出该双曲线的离心率．
【解析】
∵双曲线方程为
∴双曲线的焦点坐标为F1（-c，0）、F2（c，0），其中c=
∵圆方程为x2+y2=a2+b2，即x2+y2=c2
∴该半径等于c，且圆经过F1和F2．
∵点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2的交点，
∴△PF1F2中，|OP|=c=|F1F2|，可得∠F1PF2=90°
∵∠PF2F1=2∠PF1F2，且∠PF2F1+∠PF1F2=90°
∴∠PF1F2=30°，且∠PF2F1=60°，由此可得|PF1|=，|PF2|=c
根据双曲线定义，可得2a=|PF1|-|PF2|=（-1）c
∴双曲线的离心率e===
故选：D