在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（-2，0），B（2，0），点P为动...

在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（-2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP的斜率之积为 manfen5.com 满分网

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（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．

（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1•y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．【解析】设P点的坐标为（x，y） ∵A（-2，0），B（2，0），直线AP与直线BP的斜率之积为． ∴•=（x≠±2）整理得P点的轨迹方程为（x≠±2）（2）设直线l的方程为x=ny+1 联立方程x=ny+1与（x≠±2）得（3n2+4）y2+6ny-9=0 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2= △MON的面积S=•|OP|•|y1-y2|==== 令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增 ∴当t=1时，y=3t+取最小值4 此时S取最大值此时直线的方程为x=1

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等