Question

已知x+2y=1，x∈R⁺，y∈R⁺，则x²y的最大值为    ．

Answer

法一：由x+2y=1，可得x=1-2y，结合x＞0，y＞0可得，而x2y=（1-2y）2y=，利用基本不等式可求函数的最大值
法二：由x+2y=1，可得x=1-2y，解x＞0，y＞0可得，而x2y=（1-2y）2y=4y3-4y2+y，构造函数f（y）=4y3-4y2+y（），利用导数判断函数的单调性，进而可求函数的最大值
【解析】
法一：由x+2y=1，可得x=1-2y
∵x＞0，y＞0
∴
∴
∴x2y=（1-2y）2y=
=
当且仅当1-2y=4y即y=，x=时取等号
则x2y的最大值为
故答案为
法二：由x+2y=1，可得x=1-2y
∴x2y=（1-2y）2y=4y3-4y2+y
∵x＞0，y＞0
∴
∴
令f（y）=4y3-4y2+y（），则f′（y）=12y2-8y+1
∵
令f′（y）＜0恒可得
令f′（y）≥0可得
∴函数f（y）=4y3-4y2+y在（，）单调递减，在（0，]上单调递增
∴当y=时取得最大值
故答案为