Question

已知等差数列{a_n}满足a₃+a₄=9，a₂+a₆=10；又数列{b_n}满足nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=S_n，其中S_n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．
（1）求a_n的表达式；
（2）若c_n=-a_nb_n，试问数列{c_n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c_n≤c_k成立？并证明你的结论．

Answer

（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的通项公式、、分类讨论的思想方法即可得出．
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a4=9，a2+a6=10，
∴，解得，
∴an=2+1×（n-1）=n+1．
（2）∵Sn是首项为1，公比为的等比数列的前n项和，
∴nb1+（n-1）b2+…+2bn-1+bn=，①
（n-1）b1+（n-2）b2+…+2bn-2+bn-1=…+，②
①-②得b1+b2+…+bn=，即．
当n=1时，b1=Tn=1，
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1==．
∴．．
于是cn=-anbn．
设存在正整数k，使得对∀n∈N*，都有cn≤ck恒成立．
当n=1时，，即c2＞c1．
当n≥2时，
==．
∴当n＜7时，cn+1＞cn；
当n=7时，c8=c7；
当n＞7时，cn+1＜cn．
∴存在正整数k=7或8，使得对∀n∈N*，都有cn≤ck恒成立．