Question

已知方程f（x）=x²+ax+2b的两个根分别在（0，1），（1，2）内，则a²+（b-4）²的取值范围为（ ）
A．
B．
C．（17，20）
D．

Answer

根据方程f（x）=x2+ax+2b的两个根分别在（0，1），（1，2）内，推出a、b的关系，利用线性规划，得到ab的可行域，a2+（b-4）2的含义是可行域内的点到（0，4）点结论的平方，求其范围即可．
【解析】
f（x）开口向上
两个根分别在（0，1），（1，2）内，所以，f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0
2b＞0
（a+2b+1）＜0
（2a+2b+4）＞0
所以，
在同一直角aOb坐标系里，画出直线
b=0，a+2b+1=0，a+b+2=0
记b=0和a+2b+1=0的交点为A，a+2b+1=0和a+b+2=0的交点为Q，
b=0和a+b+2=0的交点为B
那么，A（-1，0），Q（-3，1），B（-2，0）
我们知道，
b＞0
a+2b+1＜0
a+b+2＞0
就是三角形AQB．
a2+（b-4）2其实就是点P（0，4）到三角形区域的距离的平方
根据图，我们知道，最小的距离是P垂直于AQ时的距离，这时候，
最小距离d=最大距离是，PQ=
因为该三角形的边线不符合不等式条件！
所以，a2+（b-4）2的范围是（，20）