Question

已知函数f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然数的底数，a∈R．
（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）在[-1，1]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=0时，求整数k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解．

Answer

（1）根据ex＞0，a＜0，不等式可化为，由此可求不等式f（x）＞0的解集；
（2）求导函数，再分类讨论：①当a=0时，f′（x）=（x+1）ex，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立；②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，因为△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，f（x）有极大值又有极小值．若a＞0，可得f（x）在[-1，1]上不单调；若a＜0，要使f（x）在[-1，1]上单调，因为g（0）=1＞0，必须满足，从而可确定a的取值范围；
（3）当a=0时，原方程等价于，构建函数，求导函数，可确定h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，从而可确定方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，故可得k的值．
【解析】
（1）因为ex＞0，所以不等式f（x）＞0，即为ax2+x＞0，
又因为a＜0，所以不等式可化为，
所以不等式f（x）＞0的解集为．（4分）
（2）f′（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x）ex=[ax2+（2a+1）x+1]ex，
①当a=0时，f′（x）=（x+1）ex，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；（6分）
②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，
因为△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1＞x2，
因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，因为g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调．（8分）
若a＜0，可知x1＞0＞x2，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，
因为g（0）=1＞0，必须满足，即，所以．
综上可知，a的取值范围是．（10分）
（3）当a=0时，方程即为xex=x+2，由于ex＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于，
令，
因为对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，（13分）
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2＞0，，h（-2）=e-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，
所以整数k的所有值为{-3，1}．（16分）