Question

如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD和曲线段EF分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA，OB平行的栈桥MG、MK，且以MG、MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲线段EF的方程是xy=200（5≤x≤40），设点M的坐标为（s，t），记z=s•t．（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度
（1）求z的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台MGK面积S_△MGK关于z的函数解析式，并求出该面积的最小值．

Answer

（1）由题意知，点M（s，t）在线段CD上，即s+2t=20；又因为MG∥OA，MK∥OB，所以，5≤s≤10；
∴z=s•t可以表示出来，从而求出z的取值范围；
（2）由题意知，点，由MG∥OA，MK∥OB，可得MG、MK的长，即得三角形面积S△MGK的表示；根据解析式求出面积的最小值即可．
【解析】
（1）由题意知，点M（s，t）在线段CD：x+2y=20（0≤x≤20）上，即s+2t=20，
又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK，
所以，5≤s≤10；
∴；
所以，z的取值范围是：{z|}；
（2）由题意，得
所以，；
则：，
因为，函数在单调递减，
所以，当z=50时，三角形观光平台的面积取最小值，为225平方米．