Question

如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上取不同于A，B的点C，用渔网沿着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半径OC和线段CD（其中CD∥OA），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域--养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA=1cm，，∠AOC=θ．
（1）用θ表示CD的长度；
（2）求所需渔网长度（即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和）的取值范围．

Answer

（1）先确定∠COD，再在△OCD中，利用正弦定理，可求CD的长度；
（2）根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，即可求得所需渔网长度的取值范围．
【解析】
（1）由CD∥OA，∠AOB=，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=，∠COD=-θ．
在△OCD中，由正弦定理，得CD=sin（），θ∈（0，）（6分）
（2）设渔网的长度为f（θ）．
由（1）可知，f（θ）=θ+1+sin（）．（8分）
所以f′（θ）=1-cos（），因为θ∈（0，），所以-θ∈（0，），
令f′（θ）=0，得cos（）=，所以-θ=，所以θ=．

θ （0，） （，）
f′（θ） + -
f（θ） 极大值

所以f（θ）∈（2，]．
故所需渔网长度的取值范围是（2，]．（14分）