Question

已知△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x²cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集
（Ⅰ）求角C的最大值；
（Ⅱ）若，△ABC的面积，求当角C取最大值时a+b的值．

Answer

（Ⅰ）根据不等式的性质可判断出判别式小于或等于0且cosC＞0，求得cosC的范围，进而根据余弦函数的单调性求得C的最大值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中求得C，利用三角形面积公式求得ab的值，进而代入余弦定理求得a+b的值．
【解析】
（Ⅰ）∵不等式x2cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集．
∴，即，
即，
故，∴角C的最大值为60°．
（Ⅱ）当C=60°时，，∴ab=6，
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-2ab-2abcosC，
∴，
∴．