Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA，E为PD的上一点，且PE=2ED，F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer

（Ⅰ）建立空间直角坐标系A-xyz，设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0），，．设平面AEC的一个法向量为，由，知，由，得，由此能够证明BF∥平面AEC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为，由为平面ACD的法向量，能求出二面角E-AC-D的余弦值．
【解析】
建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0），（2分）
（Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为，
∵，，
∴由，
得，
令y=-1，得（4分）
又，
∴，（5分）
，BF⊄平面AEC，
∴BF∥平面AEC．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为，
又为平面ACD的法向量，（8分）
而，（11分）
故二面角E-AC-D的余弦值为（12分）