Question

如图，椭圆的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ） 设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．

Answer

（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ） 通过，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当时，求出取得最大值．利用由对称性，推出，取得最大值．③当-1≤m≤1时，取得最大值．求的最大值及取得最大值时m的值．
【解析】
（I）…①
矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②
由①②解得：a=2，b=1，
∴椭圆M的标准方程是．
（II），
由△=64m2-20（4m2-4）＞0得．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
．
当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=-1．
①当时，有，，
其中t=m+3，由此知当，即时，取得最大值．
②由对称性，可知若，则当时，取得最大值．
③当-1≤m≤1时，，，
由此知，当m=0时，取得最大值．
综上可知，当或m=0时，取得最大值．