Question

已知数列{a_n}，{b_n}中，a₁=b₁=1，且当n≥2时，a_n-na_n-1=0，．记n的阶乘n（n-1）（n-2）…3•2•1≈n!
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列为等差数列；
（3）若，求{c_n}的前n项和．

Answer

（1）把递推式an-nan-1=0变形后进行循环，可以得到an=n（n-1）（n-2）…3•2•1=n!，验证a1成立，则数列{an}的通项公式可求；
（2）把给出的递推式两边同时除以2n，移向整理即可证得数列为等差数列；
（3）把数列{an}的通项代入，把数列{bn}的通项代入，利用裂项相消和错位相减法分别求出数列{}和{}的和后直接作和即可．
（1）【解析】
∵an-nan-1=0（n≥2），a1=1，
∴an=nan-1=n（n-1）an-2=n（n-1）（n-2）an-3=…
=n（n-1）（n-2）…3•2•1=n!
又a1=1=1!，∴an=n!
（2）证明：由，两边同时除以2n得：
，即．
∴数列{}是以为首项，公差为的等差数列，
则，故．
（3）【解析】
因为，
．
记An=
=
=．
记{}的前n项和为Bn．
则 ①
∴ ②
由②-①得：
=．
∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=．
所以数列{cn}的前n项和为．