Question

已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=9，
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．

Answer

（1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x2-5px+p2=0，从而x1+x2=，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得．
（2）由p=4，4x2-5px+p2=0求得A（1，-2），B（4，4）．再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ．
【解析】
（1）直线AB的方程是y=2（x-），与y2=2px联立，有4x2-5px+p2=0，
∴x1+x2=
由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9
∴p=4，∴抛物线方程是y2=8x．
（2）由p=4，4x2-5px+p2=0得：x2-5x+4=0，
∴x1=1，x2=4，
y1=-2，y2=4，从而A（1，-2），B（4，4）．
设=（x3，y3）=（1，-2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ-2）
又[2（2λ-1）]2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．