Question

祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的．祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵．利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体．试用祖暅原理推导球的体积公式．

Answer

由祖暅原理的内容的提示此题可先观察V圆锥、V半球、V圆柱这三个量（等底等高）之间的不等关系，再构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如图所示．接下来利用祖暅原理证明猜想．
【解析】
我们先推导半球的体积．为了计算半径为R的半球的体积，我们先观察V圆锥、V半球、V圆柱这三个量（等底等高）之间的不等关系，

可以发现V圆锥＜V半球＜V圆柱，即
＜V半球＜πR3，根据这一不等关系，我们可以猜测V半球=πR3，并且由猜测可发现V半球=V圆柱-V圆锥．
下面进一步验证了猜想的可靠性．关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如图所示．下面利用祖暅原理证明猜想．

证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面．
如果截平面与平面α的距离为l，那么圆面半径r=，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为r．
因此S圆=πr2=π（R2-l2），
S环=πR2-πl2=π（R2-l2），∴S圆=S环．
根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即V半球=，
所以V球=．