Question

已知l₁，l₂，l₃是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．
（Ⅰ）如果l₁与l₂间的距离是1，l₂与l₃间的距离是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l₁，l₂，l₃上，求这个正三角形ABC的边长；
（Ⅱ）如图，如果l₁与l₂间的距离是1，l₂与l₃间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l₁，l₂，l₃上，如果能放，求BC和l₃夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，说明为什么？
（Ⅲ）如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在l₁，l₂，l₃上，设l₁与l₂的距离为d₁，l₂与l₃的距离为d₂，求d₁•d₂的范围？

Answer

（Ⅰ）根据A、C到直线l2的距离相等，可得l2 过AC的中点M，l2⊥AC，从而求得边长AC=2AM 的值．
（Ⅱ）设边长为aBC与l3的夹角为θ，不妨设0°＜θ≤60°，可得asinθ=2，asin（60°-θ）=1．两式相比化简可得sinθ=，由此求得边长 a= 的值．
（Ⅲ）利用两角和差的正弦、余弦公式化简d1•d2 =4sin（60°-θ） sinθ 为 2sin（2θ+30°）-1，再根据正弦函数的定义域和值域求得d1•d2的范围．
【解析】
（Ⅰ）∵A、C到直线l2的距离相等，∴l2 过AC的中点M，∴l2⊥AC，∴边长AC=2AM=2．
（Ⅱ）设边长为aBC与l3的夹角为θ，由对称性，不妨设0°＜θ≤60°，∴asinθ=2，asin（60°-θ）=1．
两式相比得：sinθ=2sin（60°-θ），即 sinθ=cosθ-sinθ，∴2sinθ=cosθ，∴tanθ=．
∴sinθ=，边长 a==．
（Ⅲ）d1•d2 =4sin（60°-θ）sinθ=4（cosθ-sinθ） sinθ=2（sin2θ-）=2sin（2θ+30°）-1．
∵0°＜θ≤60°，∴30°＜2θ+30°≤150°，＜2sin（2θ+30°）≤1，∴d1•d2 ∈（0，1]，
即d1•d2的范围是 （0，1]．