(1)在平面BC1D内找到一条直线与已知直线AB1平行,根据线面平行的判定定理证明线面平行,而找平行的方法一般是找三角形的中位线或找平行四边形.
(2)根据题中的垂直关系表达出四棱锥的体积进而得到等式求出BC的数值,结合这题中的线面垂直关系作出二面角,再证明此角就是所求角然后求出即可.
【解析】
(1)证明:连接B1C,设B1C与BC1相交于点O,连接OD,
∵四边形BCC1B1是平行四边形,
∴点O为B1C的中点.
∵D为AC的中点,
∴OD为△AB1C的中位线,
∴OD∥AB1.
∵OD⊂平面BC1D,AB1⊄平面BC1D,
∴AB1∥平面BC1D.
(2)【解析】
依题意知,AB=BB1=2,
∵AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面AA1C1C,
∴平面ABC⊥平面AA1C1C,且平面ABC∩平面AA1C1C=AC.
作BE⊥AC,垂足为E,则BE⊥平面AA1C1C,
设BC=a,
在Rt△ABC中,,,
∴四棱锥B-AA1C1D的体积==a.
依题意得,a=3,即BC=3.
∵AB⊥BC,AB⊥BB1,BC∩BB1=B,BC⊂平面BB1C1C,BB1⊂平面BB1C1C,
∴AB⊥平面BB1C1C.
取BC的中点F,连接DF,则DF∥AB,且.
∴DF⊥平面BB1C1C.
作FG⊥BC1,垂足为G,连接DG,
由于DF⊥BC1,且DF∩FG=F,
∴BC1⊥平面DFG.
∵DG⊂平面DFG,
∴BC1⊥DG.
∴∠DGF为二面角C-BC1-D的平面角.
由Rt△BGF~Rt△BCC1,得,
得,
在Rt△DFG中,=.
∴二面角C-BC1-D的正切值为.