Question

已知函数y=f （x）在R上是偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，，给出如下命题：f（2a-x）=f（x）
①f（3）=0    
②直线x=-6是y=f（x）图象的一条对称轴   
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数
④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①②
B．②④
C．①②③
D．①②④

Answer

①令x=-3，代入f（x+6）=f（x）+f（3），根据函数为偶函数，得到f（3）=0；
②将f（3）=0代入，得到f（x+6）=f（x），故f（x）是周期等于6的周期函数，再由f（x）是偶函数可得，x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③根据偶函数f（x）在[0，3]上为增函数，且周期为6得到函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数；
④根据f（3）=0，周期为6，得到f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，有四个零点．
【解析】
①令x=-3，则由f（x+6）=f（x）+f（3），函数y=f （x）在R上是偶函数，得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0，故①正确．
②由f（3）=0，可得：f（x+6）=f（x），故f（x）是周期等于6的周期函数．
由于f（x）为偶函数，y轴是对称轴，故直线x=-6也是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，故②正确．
③因为当x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有 成立，故f（x）在[0，3]上为增函数，
又f（x）为偶函数，故在[-3，0]上为减函数，又周期为6．故在[-9，-6]上为减函数，故③错误．
④函数f（x）周期为6，故f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，故y=f（x）在[-9，9]上有四个零点，故④正确．
故选 D．