Question

数列{a_n}满足：（n=1，2，3，…，）．
（1）求a_n的通项公式；
（2）若b_n=-（n+1）a_n，试问是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有b_n≤b_k成立？证明你的结论．

Answer

（1）由数列{an}满足的条件，根据递推可得（n-1）a1+（n-2）a2+…+an-1=，两式相减得到Sn，从而求出an的通项公式；
（2）设存在自然数k，使对n∈N，bn≤bk恒成立，根据bn+1-bn的表达式易得当n＜8时，bn+1＞bn，当n=8时，bn+1=bn，当n＞8时，bn+1＜bn故得解．
【解析】
（1）由，
得，（n-1）a1+（n-2）a2+…+an-1=两式相减，
得
∴当n=1时，a1=S1=1
当n≥2时，
即
（2）由（1）得
设存在自然数k，使对n∈N，bn≤ck恒成立
当n=1时，
当n≥2时，，
∴当n＜8时，bn+1＞bn
当n=8时，bn+1=bn，当n＞8时，bn+1＜bn
所以存在正整数k=8或9，使对任意正整数n，均有b1＜b2＜…＜b8=b9＞b10＞b11＞…，
从而存在正整数k8或9，使得对于任意的正整数n都bn≤bk成立