Question

已知函数f（x）=（a-1）lnx+ax²．
（1）讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）求证：+++…+＞（n≥2，n∈N₊）；
（3）当a=0时，求证：f（x）≤-．

Answer

（1）先求导得f′（x），通过对a分类讨论即可得出；
（2）利用（1）的结论，取a=时，当x＞1时，f（x）单调递增，f（x）＞f（1），从而得出x2＞lnx＞0，取倒数得，令x=k，再利用放缩和裂项求和即可得出；
（3）要证⇔⇔（xlnx）min≥，利用导数分别求出其极值即最值即可证明．
【解析】
（1）f（x）=（a-1）lnx+ax2，定义域为（0，+∞）．
∵．
当a≥1时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a≤0时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调递减；
当0＜a＜1时，令f'（x）=0，解得．
则当时，f'（x）＜0；时，f'（x）＞0．
故f（x）在单调递减，在单调递增．
（2）当时，，
由（1）知，时，y=f（x）递增，
所以x＞1时，
∵x＞1，
∴x2＞lnx＞0，
∴，，

（3）就是要证，即需证．
令g（x）=xlnx，则由g'（x）=lnx+1=0，得，
当时g（x）递增，当时g（x）递减，
所以g（x）的最小值为．
设，
当=0时，x=1．
当x＞1时g（x）递减；当0＜x＜1时g（x）递增．
所以ϕ（x）的最大值为，
因为g（x）的最小值不小于ϕ（x）的最大值，
即，所以．