Question

已知α为锐角，且，函数，数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，若∠A=2α，，BC=2，求△ABC的面积
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）利用三角函数公式二倍角公式，两角和正弦公式分别求出tan2α，sin（2α+）的值，代入解析式即可求得函数f（x）的表达式．
（2）利用正弦定理求得AB，再用S△ABC=×AB×BC×sinB计算可得面积大小．
（3）由an+1=2an+1，先转化构造出数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{an}的通项，再去求和．
【解析】
（1）
∴=
=（分子分母同除以cos2α）
==1
∴f（x）=2x+1
（2）由（1）得∠A=2α=，而，
根据正弦定理易AB===，

S△ABC=×AB×BC×sinB==
（3）∵an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1）
∵a1=1∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
可得an+1=2n，∴an=2n-1，
∴