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已知椭圆(a>b>0)经过点M(1,),且其右焦点与抛物线的焦点F重合. ①求椭...

已知椭圆manfen5.com 满分网(a>b>0)经过点M(1,manfen5.com 满分网),且其右焦点与抛物线manfen5.com 满分网的焦点F重合.
①求椭圆C1的方程;
②直线l经过点F与椭圆C1相交于A、B两点,与抛物线C2相交于C、D两点.求manfen5.com 满分网的最大值.
①首先求出抛物线的焦点坐标,则c可求,结合椭圆的隐含条件及点M(1,)在椭圆上,进一步列式可求椭圆方程; ②分直线l的斜率存在和不存在两种情况分析,当斜率不存在时,可以直接求出A,B,C,D四点的坐标,则的值可求,当斜率存在时,设出直线方程,和椭圆方程及抛物线方程联立后,运用弦长公式把用直线的斜率表示,然后利用基本不等式求其最值. 【解析】 如图, ①解法1:由抛物线方程为y2=4x,得其焦点F(1,0), ∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合,∴c=1. 故a2-b2=c2=1                            ① 又椭圆C1经过点,∴     ② 由①②消去a2并整理,得,4b4-9b2-9=0,解得:b2=3,或(舍去), 从而a2=b2+1=4. 故椭圆的方程为. 解法2:由抛物线方程,得焦点F(1,0), ∴c=1. ∴椭圆C1的左右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0). ∵椭圆(a>b>0)经过点M(1,), ∴=4. ∴a=2,则a2=4,b2=a2-c2=4-1=3. 故椭圆的方程为. ②当直线l垂直于x轴时, 则A(1,),B(1,),C(1,2),D(1,-2).∴. 当直线l与x轴不垂直,设其斜率为k(k≠0),则直线l的方程为:y=k(x-1). 联立,得:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0. △=(-8k2)2-4×(3+4k2)×(-12)=64k4+192k2+144>0. ∴方程有两个不等的实数根.设A(x1,y1),B(x2,y2). 则,. 所以,= = =. 由,得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0. △=[-(2k2+4)]2-4k4=16k2+16>0,∴方程有两个不等的实数根.设C(x3,y3),D(x4,y4). ∵k≠0,∴, 由抛物线的定义,得. ∴=. 综上,当直线l垂直于x轴时,取得最大值.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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