Question

如图，设三角形的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=60°，∠A＜∠C，∠A的外角平分线交圆O于E．
证明：
（1）IO=AE；  
（2）2R＜IO+IA+IC＜（1+）R．

Answer

（1）由∠B=60°，知∠AOC=∠AIC=120°．故A，O，I，C四点共圆．圆心为弧AC的中点F，半径为R．由O为⊙F的弧AC中点，设OF延长线交⊙F于H，AI延长线交弧BC于D．由∠EAD=90°（内外角平分线）知DE为⊙O的直径．∠OAD=∠ODA．由此能够证明AE=IO．
（2）由△ACH为正三角形，易证IC+IA=IH，由OH=2R，知IO+IA+IC=IO+IH＞OH=2R，设∠OHI=α，则0＜α＜30°．故IO+IA+IC=IO+IH=2R（sinα+cosα）=2Rsin（α+45°），由此能够证明2R＜IO+IA+IC＜（1+）R．
（1）证明：∵∠B=60°，∴∠AOC=∠AIC=120°．
∴A，O，I，C四点共圆．圆心为弧AC的中点F，半径为R．
∴O为⊙F的弧AC中点，设OF延长线交⊙F于H，AI延长线交弧BC于D．
由∠EAD=90°（内外角平分线）知DE为⊙O的直径．∠OAD=∠ODA．
但∠OAI=∠OHI，故∠OHI=∠ADE，
于是Rt△DAE≌Rt△HIO，
∴AE=IO．
（2）【解析】
由△ACH为正三角形，易证IC+IA=IH，
由OH=2R．∴IO+IA+IC=IO+IH＞OH=2R，
设∠OHI=α，则0＜α＜30°．
∴IO+IA+IC=IO+IH=2R（sinα+cosα）=2Rsin（α+45°），
又α+45°＜75°，
故IO+IA+IC＜2 R（+）×=（1+）R．