Question

若数列{a_n}满足a₁=，a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，则数列{a_n}的前60项和为    ．

Answer

根据n≥2时an=Sn-Sn-1，算出（n2-1）an=（n-1）2an-1，得到=．用累乘的方法算出当n≥2时，an=，且n=1时也符合条件．由此可得{an}的前n项和为和为Sn的表达式，从而得到{an}的前60项和的值．
【解析】
∵数列{an}的前n项的和Sn=a1+a2+…+an，∴Sn=n2an，
当n≥2时，Sn-1=（n-1）2an-1，两式相减得an=n2an-（n-1）2an-1，
即（n2-1）an=（n-1）2an-1，故=，
∴=×××…×=××…××=
结合a1=，可得an=
当n=1时，也满足上式，故an=对任意n∈N+成立，
可得an==-，
因此，数列数列{an}的前n项和为Sn=（1-）+（-）+（-）+…+（-）=1-=．
∴{an}的前60项和为
故答案为：