Question

在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EF∥BC，AC=BC=2EF，．
（1）求证：AE⊥平面BCEF；
（2）求二面角A-BF-C的大小．

Answer

（1）由平面ACE⊥平面ABCD，BC⊥AC，知BC⊥平面AEC，从而得到BC⊥AE，由，知AE⊥EC，由此能够证明AE⊥平面ECBF．
（2）法一：建立空间直角坐标系，设AC=BC=2，利用向量法能求出二面角A-BF-C的大小．
法二：取AB的中点H，连接CH，因为AC=BC，则CH⊥AB，得到CH⊥平面ABF，过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，则CR⊥BF，从而得到∠HRC为二面角A-BF-C的平面角，由此能求出二面角A-BF-C的大小．
【解析】
（1）∵平面ACE⊥平面ABCD，且平面ACE∩平面ABCD=AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面AEC（2分）
∴BC⊥AE，…（3分）
又，∴AE⊥EC，…（4分）
且BC∩EC=C，∴AE⊥平面ECBF．…（6分）
（2）（解法一）建立如图空间直角坐标系，
不妨设AC=BC=2，则，
则由题意得A（0，0，0），B（2，-2，0），C（2，0，0），
=（2，-2，0），=（0，2，0），
F（1，-1，1），=（-1，1，1）．…（8分）
设平面BFC的法向量为，
由，得，（9分）
设平面ABF的法向量为，
由，得，（10分）
所以，
∴二面角A-BF-C的大小为60°．…（12分）
（解法二）取AB的中点H，连接CH，因为AC=BC，则CH⊥AB，
∴CH⊥平面ABF，过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，
则CR⊥BF，∠HRC为二面角A-BF-C的平面角．…（9分）
由题意，不妨设AC=BC=2，
连接FH，则FH⊥AB，又
因此在Rt△BHF中，，，
所以在Rt△CHR中，，…（11分）
因此二面角A-BF-C的大小为60°．…（12分）