Question

已知函数f（x）=2sincos-2sin²+．
（1）求函数f（x）的最大值，并写出相应的x取值集合；
（2）令f（α+）=，且α∈（0，π），求tan2α的值．

Answer

利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为y=2sin（+），
（1）直接利用正弦函数的值域，求出函数的最大值，写出最大值时的x的值即可．
（2）求出的表达式．通过表达式的值是，求出cosα，sinα，然后求出tanα，通过二倍角的正切函数求解即可．
【解析】
（1）∵=sin+cos=2sin（+），…（2分）
∴f（x）的最小正周期T==4π．…（4分）
因为，-1≤sin（+）≤1 所以，f（x）的最大值为2．…（6分）
相应值的集合为{x|x=4k，k∈Z}  …（7分）
（2）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（+），f（α+）=，
2sin[（α+）+]=2sin（+）=2cos，
∴2cos=，所以cos=，cosα=2cos2α-1=-       …（10分）
又因为α∈（0，π），所以sinα==，
∴tanα==-，
∴tan2α==-              …（13分）