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已知函数f(x)=的图象在点(-2,f(-2))处的切线方程为16x+y+20=...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网的图象在点(-2,f(-2))处的切线方程为16x+y+20=0.
(1)求实数a、b的值;
(2)求函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值;
(3)曲线y=f(x)上存在两点M、N,使得△MON是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边MN的中点在y轴上,求实数c的取值范围.
(1)利用函数图象在点(-2,f(-2))处的切线方程为16x+y+20=0,确定切点坐标及切线的向量,建立方程组,即可求实数a、b的值; (2)根据分段函数,分类讨论,利用函数的单调性,即可求f(x)在[-1,2]上的最大值; (3)根据分段函数,分类讨论,利用,即可求实数c的取值范围. 【解析】 (1)当x<1时,f′(x)=-3x2+2ax+b. 因为函数图象在点(-2,f(-2))处的切线方程为16x+y+20=0,所以切点坐标为(-2,12), 所以,所以a=1,b=0; (2)由(1)得,当x<1时,f(x)=-x3+x2, 令f′(x)=-3x2+2x=0可得x=0或x=,故函数在(-1,0)和(,1)上单调递减,在(0,)上单调递增 ∴x<1时,f(x)的最大值为max{f(-1),f()}=f(-1)=2; 当1≤x≤2时,f(x)=clnx 当c≤0时,clnx≤0恒成立,f(x)≤0<2,此时f(x)在[-1,2]上的最大值为f(-1)=2; 当c>0时,f(x)在[-1,2]上单调递增,且f(2)=cln2 令cln2=2,则c=,∴当c>时,f(x)在[-1,2]上的最大值为f(2)=cln2; 当0<c≤时,f(x)在[-1,2]上的最大值为f(-1)=2 综上,当c≤时,f(x)在[-1,2]上的最大值为2,当c>时,f(x)在[-1,2]上的最大值为cln2; (3)f(x)=, 根据条件M,N的横坐标互为相反数,不妨设M(-t,t3+t2),N(t,f(t)),(t>0). 若t<1,则f(t)=-t3+t2, 由∠MON是直角得,,即-t2+(t3+t2)(-t3+t2)=0, 即t4-t2+1=0.此时无解; 若t≥1,则f(t)=clnt. 由于MN的中点在y轴上,且∠MON是直角,所以N点不可能在x轴上,即t≠1. 同理由,即-t2+(t3+t2)•clnt=0,∴c=. 由于函数g(t)=(t>1)的值域是(0,+∞),实数c的取值范围是(0,+∞)即为所求.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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