Question

选修4-5：不等式选讲定义min{a，b}=，求函数f（x）=min{|x-2|+|2x+1|，-x²+3x+3}的最大值．

Answer

由题意，函数f（x）是取|x-2|+|2x+1|和-x2+3x+3两个值中的较小值．因此根据x的取值范围将|x-2|+|2x+1|化成分段函数的表达式，利用作差的方法分别得到各个范围内|x-2|+|2x+1|与-x2+3x+3的大小关系，从而得到f（x）的分段函数表达式，再结合函数的单调性可得f（x）的最大值．
【解析】
根据绝对值的意义，可得|x-2|+|2x+1|=…（3分）
①当x≥2时-x2+3x+3-（3x-1）=-x2+4≤0成立，此时|x-2|+|2x+1|＞-x2+3x+3，∴f（x）=-x2+3x+3；
②当-＜x＜2时，-x2+3x+3-（x+3）=-x2+2x≤0在（-，0）成立，此时f（x）=-x2+3x+3．
-x2+3x+3-（x+3）=-x2+2x≥0在[0，2）成立，此时f（x）=x+3；
③当x时，-x2+3x+3-（-3x+1）=-x2+6x+2≤0在（-∞，-]成立，此时f（x）=-x2+3x+3；
所以f（x）=，…（6分）
可得函数在（-∞，0），（0，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数
因此，当x≤0时，f（x）≤f（0）=3；当0＜x＜2时，f（x）＜f（2）=5；当x≥2时，f（x）≤f（2）=5．
综上所述，可得f（x）最大值为5． …（10分）