Question

已知函数f（x）=sin2x-2cos²x-1，x∈R，f（x）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=2sinA，c=，f（C）=0．sinA，求a，b的值．

Answer

（I）利用二倍角及辅助角公式先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质求解周期及最小值
（II）先由f（C）=0求出C，然后由sinB=2sinA及正弦定理可得b=2a，最后再由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC，可求a，b
【解析】
（I）∵f（x）=sin2x-2cos2x-1
=
∴T=π，最小值为-4
（II）∵=0
∴sin（2C-）=1
∵C∈（0，π），2C
∴2C=
∴C=
∵sinB=2sinA，由正弦定理可得b=2a
由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC=a2+4a2-2a2=3a2=3
∴a=1，b=2