Question

如图，已知平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=4，AB=2CD=8
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面BCE；
（Ⅲ）求四棱锥C-ABEF的体积．

Answer

（I）由图中，四边形ABEF为矩形，从而有AF∥BE，结合线面平行的判定定理可得AF∥面BCE；
（II）过C作CM⊥AB，利用勾股定理的你逆定理得到AC⊥BC，结合平面ABEF⊥平面ABCD及面面垂直的性质定理可得BE⊥平面ABCD，进而BE⊥AC，再由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BCE；
（III）由平面ABEF⊥平面ABCD，CM⊥AB，根据面面垂直的性质定理可得CM⊥平面ABEF，即CM为三棱锥的高，计算出CM的长及底面三角形的面积，代入棱锥体积公式可得答案．
【解析】
（I）∵四边形ABEF为矩形，
∴AF∥BE，BE⊂面BCE，AF⊄面BCE，
∴AF∥面BCE．
（II）过C作CM⊥AB，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，
∴AM=MB=4，又AD=4，AB=2CD=8，∴AC==4，
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥AB，
又AB=平面ABEF∩平面ABCD，
∴BE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，
∴BE⊥AC，又BE⊂平面BCE，AC⊥BC，BC⊂平面BCE
∴AC⊥平面BCE．
（III）∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，CM⊥AB，CM⊂平面ABCD，
∴CM⊥平面ABEF，∴四棱锥C-ABEF的高为CM，
∴四棱锥C-ABEF的体积=．