Question

已知椭圆C：的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OAB面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）写出圆O的方程，根据直线与圆相切可求得b值，根据所给斜率及a，b，c的平方关系可求得a值；
（Ⅱ）设点A（x，y），（x＞0，y＞0），AB交x轴于点D，由对称性知S△OAB=2S△OAD，根据点A在直线OA、椭圆上可用k表示出x，从而可把△OAB面积表示为关于k的函数，利用基本不等式即可求得其最大值．
【解析】
（Ⅰ）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2，
因为直线l：x-y+2=0与圆O相切，故有=b，
所以b=，已知，
所以有a2=3c2=3（a2-b2），
解得a2=3，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设点A（x，y），（x＞0，y＞0），则y=kx，
设AB交x轴于点D，由对称性知：
S△OAB=2S△OAD=2×xy=，
由，解得，
所以S△OAB=k=≤，
当且仅当，即k=时取等号，
所以△OAB面积的最大值为．